Задание №61492 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Обозначим через a, b и c длины ребер BA, BB₁ и BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно (см. рис.). Тогда объем параллелепипеда  Стороны LD и MB₁ основания LDMB₁ пирамиды KLDMB₁ лежат на параллельных прямых AD и B₁C₁. Кроме того, по условию,  Следовательно, LDMB₁ – параллелограмм. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, прямая LD перпендикулярна плоскости, в которой лежит прямая AB₁, откуда, согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости,  
Тогда площадь основания пирамиды  Отрезок AB₁ — диагональ прямоугольника AA₁B₁B со сторонами a и b (см. рис.), следовательно,  и 

Опустим перпендикуляр KN из точки K на прямую AB₁ (см. рис.). Прямая AD перпендикулярна плоскости AA₁B₁, в которой лежит прямая KN, следовательно,  Таким образом, прямая KN перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB₁ и AD плоскости AA₁D, следовательно, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, она перпендикулярна самой этой плоскости. Значит отрезок KN — высота пирамиды KLDMB₁. Прямоугольные треугольники KNB₁ и AA₁B₁ подобны, так как имеют общий острый угол B₁, следовательно,  откуда 
Находим объем V₁ пирамиды KLDMB₁:

Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) обоснован тот факт, что основание пирамиды KLDMB₁ – параллелограмм;
2) обоснован тот факт, что отрезок AB₁ – высота параллелограмма LDMB₁;
3) обоснован тот факт, что отрезок KN – высота пирамиды KLDMB₁;
4) доказано подобие треугольников KNB₁ и AA₁B₁;
5) вычислена площадь параллелограмма LDMB₁;
6) вычислен объем пирамиды KLDMB₁.
Верно приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории: а) определение прямой, перпендикулярной плоскости; б) признак перпендикулярности прямой и плоскости; в) признак подобия прямоугольных треугольников. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ - 4 балла
Приведены все шаги решения 1) – 6). Приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) – в). Допустимы отсутствие обоснований некоторых ключевых моментов или неточности в обоснованиях. Допустимы одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ - 3 балла
Приведены все шаги решения 1) – 6). Ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) – в) либо отсутствуют, либо приведены с ошибками, но сами эти положения теории использованы при решении. Допустимы описки и/или вычислительные ошибки, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок или описок может быть получен неверный ответ - 2 балла
Ход решения правильный, но решение не завершено: частично приведены шаги решения. Найдены некоторые числовые характеристики пирамиды KLDMB₁. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок, влияющих на правильность хода решения - 1 балл
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 – 4 балла - 0 баллов

Ответ: в семь раз

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)