Задание №60266 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

1) Пусть  - середина ребра  Так как призма правильная, то  и  и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Значит, как угол между прямой и плоскостью 
2) Пусть  и  - центры оснований призмы, тогда  и  Так как призма правильная, то где - середина отрезка Следовательно, по свойству наклонных и проекций  и  Так как  и  то прямоугольные треугольники  и  равны по двум катетам. Значит,  Следовательно, точка равноудалена от всех вершин призмы и поэтому является центром описанного около нее шара. Из условий радус шара
3) Пусть  Тогда Но прямоугольный и Следовательно, Из

4) Отрезок  отрезок  Поэтому из прямоугольного  имеем  Следовательно,  Объем призмы находим по формуле  Но    Отсюда 

Ответ: 36

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)