Задание №62474 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)  Да, например
б)  Сразу заметим, что

поэтому A начинается с цифры 1. Далее, если B и C кратны 3, то и их сумма A кратна 3. Делимость на 3 определяется суммой цифр числа (она должна быть кратна трем), поэтому убирать из A единицу нельзя (от этого остаток от деления на 3 изменится). Значит, и B и C содержат в записи единицу. Тогда вторая их цифра должна быть 2, 5 или 8. Если в числе A были бы две такие цифры, то их сумма с единицей давала бы остаток 2 от деления на 3. Значит, там одна такая цифра, а B и C состоят из одних и тех же двух цифр, одна из которых единица. Осталось разобрать варианты:
—  не трехзначные:
 
—  не содержат нужных цифр: и
в)  Заметим, что Докажем, что это наилучший пример. Если хоть одно из чисел B и C меньше 90, то

поэтому такие примеры рассматривать не нужно.
Если же они оба начинаются с девятки, то и  где b и c  — цифры. Поскольку его последняя цифра равна Ясно, что это не 9, поскольку

не b и не c (если например то c  =  10). Значит, эта цифра в числах B и C не используется. Поэтому что тоже невозможно, так как

Верно получены все обоснованные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Верно получены обоснованные ответы в пунктах а) и в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах б) и в) - 3 балла
Верно получен обоснованный ответы в пункте в), либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а) и б), пункт в) не решен - 2 балла
Верно получен обоснованный ответ в пункте а), либо получен верный обоснованные ответ в пункте б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  189

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)