- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 61491
Задание №61491 ЕГЭ по Математике (профиль)
Окружность с центром в точке 
высекает на всех сторонах трапеции
равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной
точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону 
в точках 
и 
так, что 
Решение:
а) Расстояния от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка 
равноудалена от прямых 
и 
Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.
б) Опустим из точки 
перпендикуляры 
и 
на стороны 
и 
соответственно. Тогда 
- высота трапеции, а точка 
- середина отрезка 
Значит,
Пусть 
- высота трапеции. В прямоугольном треугольнике 
имеем:
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 24.
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)