Задание №60324 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

1) Пусть  – центр сферы, а – ее радиус. Тогда  как диаметр сферы. Поскольку точки и  лежат на сфере, то Сечения сферы плоскостями и – окружности радиуса описанные вокруг треугольников и причем как вписанные углы, опирающиеся на диаметр

2) Пусть  – высота пирамиды опущенная из вершины и – высота треугольника проведенная к стороне Поскольку точка лежит на сфере, а плоскость содержит центр сферы, то  причем  если Аналогично, поскольку точка лежит на сфере, то  причем  если  Отсюда для объема пирамиды имеем

При этом  только если Таким образом, пирамида имеет наибольший объем, если треугольники и – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

3) Поскольку то  Но  и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  Пусть – середина Проведем – среднюю линию треугольника Тогда  Значит,  и поэтому – проекция на плоскость и – угол между прямой и плоскостью Пусть

4) По свойству средней линии  Так как треугольники равны по двум катетам, то треугольник – правильный со стороной   – высота треугольника значит, Отсюда 

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)