Задание №59607 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому  - количество целых чисел — делится на 4. По условию  поэтому  Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство  к виду  Так как  получаем, что  откуда  Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных. 

в) Подставим  в правую часть равенства   то есть положительных чисел не более 17.

Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и 2 раза написан 0. Тогда  указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты – 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов – 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов – 2 балла
Верно получен один из следующих результатов:
– обоснованное решение пункта а;
– обоснованное решение пункта б;
– искомая оценка в пункте в;
– в пункте в приведён пример, обеспечивающий точность предыдущей оценки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)