Задание №62436 ЕГЭ по Математике (профиль)

Тема : Числовые наборы на карточках/досках

Раздел: Задачи на теорию чисел

21 (ЕГЭ 2015) линия

Не выполнено

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:
Пусть i−ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким, что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда
После смены мест цифр -ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда Попробуем брать в качестве пока их сумма не превосходит 130 - так можно положить
то есть в сумме 15 слагаемых. Тогда можно положить

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

вычитая из второго уравнения первое, находим, что но 330 не делится на 9, следовательно, такой случай не возможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

вычитая из второго уравнения первое, находим, что

откуда

вычитая из второго уравнения первое, находим, что

то есть для некоторого целого неотрицательного тогда
Покажем, что
в самом деле, если бы было тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее, чем 19 (так как ), но тогда
Так как то то есть
При получим но даже а количество чисел не может быть больше, чем следовательно,

При получим
Аналогично примеру из пункта а) построим решение:
Попробуем брать в качестве пока их сумма не превосходит 150 - так можно положить

то есть в сумме 17 слагаемых. Тогда можно положить

итого, искомая сумма максимальная

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) где запись означает сумму из слагаемых, каждое из которых равно б) нет; в) 1518.

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)

Аналоги:Задание №59607