Кредиты с неравными платежами в прогрессии (дифференцированный)

***

В предыдущих статьях мы обсудили самые основные моменты, на которые стоит обратить внимание при решении экономических задач. Если вы еще не ознакомили с ними, то, пожалуйста, сделайте это. В этой статье мы будем опускать базовые преобразования, которые мы уже разбирали.

Туть статья про вклады.

А туть статья про кредиты с равными платежами.

Начнем мы наш разбор с общей идеи, которую мы будем понимать на примере конкретных чисел.

Общая концепция заданий с долгом, который все время уменьшается равномерно

Представьте себе пирог, который весит 1000 г. Вы хотите полностью съесть его за 4 приема пищи, причем хотите это сделать так, что каждый раз вы будете съедать одинаковый по весу кусочек.

Что оптимальнее всего сделать? Вы можете сразу разрезать данный пирог на 4 равных кусочка, каждый из которых будет весить по 250 г. Поэтому, съедая раз за разом каждый кусок, общий вес оставшейся части будет 750, 500, 250 соответсвенно. Так вы будете уменьшать вес вашего пирога равномерно, как вы этого и хотели.

Потренируемся еще раз на других числах.

Пусть пирог весит 2000 г. Вы хотите съесть его равномерно за 5 приемов пищи.

По сколько грамм должен весить каждый кусочек, который вы будете съедать за один прием пищи? По 2000/5=400 г. Тогда вес вашего пирога на каждом этапе его существования будет соответствовать числам 2000, 1600, 1200, 800, 400.

С задачами на кредиты происходит все аналогично. Только за счет наличия процентов по кредиту наш пирог будет иногда «разбухать в весе», из-за чего выплаты будут разными, но сам долг будет уменьшаться равномерно.

Равное уменьшение долга не означает, что выплаты будут одинаковыми!
Дальше вы увидите, почему так происходит.

Представим себе следующее условие:

Заемщик взял в кредит 1000 рублей на 5 лет под 20% годовых. Взял он их так, что его долг должен уменьшаться равномерно.

Для начала давайте поймем, на какую именно сумму уменьшается наш долг (чему равен каждый кусочек, который мы будем съедать). Для этого нам необходимо общий долг поделить на количество периодов. Получится, что долг уменьшается на 1000/5, то есть на 200. Сразу запишем это в наш первый столбик (который долг на начало):

Обратите внимание, как записан первый столбик. На начало второго периода пройдет 1 период, а значит съедят 1 кусочек. На начало третьего периода пройдет 2 периода, а значит съедят 2 кусочка и т.д.

В подобных заданиях вы СРАЗУ МОЖЕТЕ ЗАПИСАТЬ ПЕРВЫЙ СТОЛБИК!

Теперь разберемся со вторым. Тут все не очень сложно. Надо лишь добавить процент, который начисляет банк. Вы можете сразу написать. что значение из первого столбика мы умножаем на 1,2, но я этот момент разделю, чтобы вы лучше осознали, как мы будем записывать выплаты для облегчения подсчетов и восприятия будущих задач:

Ну а теперь переходим к самому веселому. Выплату можно найти как разницу между долгом до выплаты и долгом после выплаты.

Представьте, что до выплаты заемщик должен был 150 рублей, после выплаты он должен 100 рублей. Сколько он заплатил? 150-100=50 рублей.

Но в таких заданиях имеет смысл расписать, из чего именно состоит эта выплата. Мы в любом случае видим, что долг каждый раз снижается на 1000/5=200 (наш 1 кусочек), значит, в каждой выплате точно присутствует этот 1 кусочек.

Также мы видим, что перед выплатой банк начисляет процент на ту сумму, которая была на начало нашего периода, значит, ее мы тоже должны будем заплатить, чтобы снизить долг до нужного числа, которое будет на начало следующего периода.

Давайте разберемся отдельно с первой строчкой. Сначала заемщик должен 1000, после процента он должен 1200 (1000+0,2*1000), потом он должен 800.

Если мы заплатим только 200 (сумму, на которую снизился долг), то итоговый долг на начало следующего периода будет 1000, а не 800 (т.к мы отнимаем выплату от долга после начисления процентов).

Изображу эти комментарии на первой строчке таблицы (дальше все будет идти по аналогии):

Вот что получится, если сейчас заполнить все строчки третьего столбика:

Обратите внимание, что наибольшая выплата будет самой первой, а наименьшая выплата — последняя.

Это происходит из-за того, что самый большой процент в денежном эквиваленте банк начисляет в первый период, когда долг самый большой.

Самый маленький процент процент начисляется на самую маленькую сумму на начало периода. Это как раз соответствует последнему периоду.

Следующей важной частью данных прототипов является нахождение общей суммы выплат (именно ее чаще всего задействуют в подобных задачах).

Нахождение общей суммы выплат

Для того, чтобы посчитать общую сумму выплат, обратим еще раз внимание на третий столбик нашей предыдущей таблицы. Нам необходимо сложить все выплаты, но как это сделать проще?

Предлагаю это сделать по столбикам. В первом столбике у нас образовались одинаковые кусочки. Их у нас 5 шт по 200. Во втором столбике (который после знака +) выражения не одинаковые, но мы можем вынести среди них общий множитель 20/100 (можем и как 0,2 уже записать). Тогда получаем следующее:

Ну а дальше это все надо считать :)

Конкретно в этом примере чисел не много, но бывают ситуации, где берут кредит на 19 или 30 периодов, и там уже напролом считать не получится, поэтому теперь рассмотрим весь этот алгоритм действий на примере задания из ЕГЭ.

Практическая часть

Возьмем вот такую задачу:

15 января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 2,34 млн рублей?

Мы не знаем первоначальную сумму кредита. Обозначим ее за S.

В задаче сказали, что долг уменьшается равномерно (4-ая строчка условия). Тогда долг уменьшается на S/16.

Процент равен 2. Значит, во втором столбике мы каждую первоначальную сумму умножаем на 1,02, а в третьем столбике пропишем выплаты через сумму значения, на которое уменьшается долг, и процента, который успевает начислить банк на первоначальную сумму каждого периода.

Также отметим, что в таких заданиях не обязательно писать все периоды. Можно оставить 1, 2, 3 и последний.

Таблица будет выглядеть следующим образом:

Нам дали общую сумму выплат. Значит, надо будет составить модель через приравнивание суммы всех выплат к 2,34.

Складываем отдельно первый столбик в выплатах и второй столбик в выплатах. Когда будем складывать второй столбик, мы можем вынести общий множитель 0,02*S/16.

Чтоб вы лучше понимали, что останется от первого выражения во втором столбике.

Я специально добавлю во второй столбец выплат в первой строчке коэффициент 16/16, который не повлияет на само выражение, но позволит нагляднее увидеть преобразование.

Теперь осталось решить уравнение. Для этого надо как-то оптимально посчитать сумму от 1 до 16. Вот здесь и вступает в игру прогрессия (о которой есть упоминание в названии статьи).

Напомню формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Вот ею и воспользуемся. По итогу оставшееся решение будет следующим:

Как вы видите, самое сложное в этих задачах — понять условие и составить модель. Дальше вычисления уже очень простые, если изначально правильно поработать с выплатами.

***

Самая жесткая жесть в подобных прототипах

Очередной пранк вас ждет в задаче, где вам скажут, что долг уменьшается равномерно не весь срок кредитования, а только какую-то часть, после чего сразу выплачивают всю оставшуюся сумму, когда капнет процент.

Сперва рассмотрим вот такое небольшое условие, чтобы вы понимали, о чем идет речь.

Заемщик взял в кредит 100 рублей на 5 лет под 10% годовых. Первые 4 года долг уменьшался равномерно. На начало 5-ого года долг был 60 рублей. В конце 5-ого долг был полностью погашен.

Здесь мы не можем сказать, что долг уменьшался на 100/5, как это было в предыдущем прототипе. Стоит обратить внимание, что за 4 года равномерного снижения, долг снизился с 100 до 60 рублей. Значит за 4 года равномерного снижения долг уменьшился на 40 рублей. Тогда каждый год равномерного снижения долг уменьшался на (100-60)/4=10 рублей.

В этом случае первый столбик выглядел бы следующим образом:

Вопросов в условии выше никаких не писал. Мы это разобрали, чтобы вы заметили разницу в первом столбике.

Конкретный прототип с реального ЕГЭ

Теперь разберем задачу с реального экзамена ЕГЭ 2020 года:

15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с февраля 2025 года по июль 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 июля 2027 года долг составит 300 тысяч рублей;

— 15 августа 2027 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Что мы видим? Взяли 900 в кредит на 31 месяц. Первые 30 уменьшался равномерно. По итогу этого равномерного уменьшения долг снизился до 300. На следующий период долг был уже 0. Процент равен 2.

Начнем с таблицы. В первую очередь стоит понять, на какую сумму уменьшился долг. Был 900, стал 300. Значит снизился на 600 за 30 месяцев.

Тогда во время равномерного снижения долг уменьшался на 20 каждый месяц:

Также в этих задачах стоит писать не только последний период, но и предпоследний, так как последняя выплата не входит в прогрессию, а предпоследняя выплата все еще входит.

Дополнительно стоит сказать, что в этих прототипах лучше оставлять значения в первом столбике в виде разности первоначальной и какого-то кол-ва кусочков, на которые снижается долг для более эффективного подсчета общей суммы выплат.

Составим теперь таблицу по принципам прототипа задания, который мы разбирали еще в самом начале статьи:

Дам комментарии по получению некоторых выражений.

В столбике выплат мы пишем сумму из значения, на которое уменьшается долг, и значения, которые начисляет банк своими процентами.

Как тут написан процент банка? Это 0,02 , которое умножается на долг на начало периода. Для примера рассмотрим вторую строчку. Долг на начало равен 900 — 20. Значит процент банка равен 0,02*(900 — 20). Теперь мы раскрываем скобки и получаем 0,02*900 — 0,02*20. Дальше по аналогии.

Последняя выплата не относится к прогрессии, так как в последний период происходит неравномерное (относительно того, что было раньше) снижение долга. Поэтому последняя выплата просто равна последнему долгу после %, чтобы снизить долг до 0.

Ну и теперь нам надо посчитать общую сумму выплат. В выплатах у нас образовалось 3 столбика, каждый из которых мы складываем от отдельности. В последнем столбике при сложении также вынесем общий множитель.

Специально отмечу все разными цветами, чтобы было нагляднее:

У нас только 30 месяцев с прогрессией, поэтому и пишем, что 30 раз берем одни и те же выражения из первого и второго столбиков выплат. Среди отрицательных их 29, потому что в самой первой выплате мы ничего не отнимали, а значит, отрицательных на 1 меньше.

Ну и теперь у нас финишная прямая. Надо просто посчитать это выражение:

Увидев это в первый раз, можно и испугаться. Но давайте еще раз подумаем, что тут от нас требуется:

• Уметь различать два разных прототипа по условию
• Отработать достаточно четкий алгоритм

С практикой все наладится, и вы без проблем будете справляться с этими прототипами :)

***