Вклады

***

В этой статье мы начинаем увлекательное путешествие в мир экономических задач. На данный момент 15-й номер ЕГЭ по профильной математике дает 2 первичных балла, так что необходимо обязательно разобраться в темах данного задания.

Сначала разберем работу с начислением процентов. Дальше перейдем к рассмотрению задач на вклады. В следующих статьях мы подробнее поговорим о задачах на кредиты, которые чаще всего даются на самом экзамене.

Общая информация

Начисление процентов

Давайте представим себе ситуацию, когда человек пришел в банк и положил на вклад 100р. Банк говорит, что за использование этих денег через год он положит от себя на вклад 10% от той суммы, которая там изначально лежит. Как посчитать, сколько денег будет на вкладе через год? Для этого необходимо добавить 10% от 100р к этим 100р.

Делается это следующим образом:

У нас становится 110% от изначального числа, поэтому мы его умножаем на 1,1

Можно было просто найти 10% от 100р и добавить это значение к изначальным 100р, но я хочу показать, на какую скобочку можно умножить число, чтобы мы увеличили его на какой-то процент.

В общем виде это будет работать следующим образом:

Если мы хотим уменьшить какое-то число на какой-то процент, то мы должны просто поменять знак + на -:

За что ставят баллы в заданиях

Важно понимать, каким именно образом вы получаете баллы за экономическую задачу.

Первый балл ставится за математическую модель (уравнение/неравенство/система), которая подразумевается в задании.

При этом вам надо объяснить, как получается данная модель. Для этого лучше всего подойдет написание таблицы, в которой вы будете прописывать промежуточные значения вклада/кредита, с которым вы работаете.

Если вы допустите ошибку в модели, то ставят сразу 0 баллов!

Второй балл вы получаете за правильно решенную мат модель с правильным ответом (за правильный ход решения модели второй балл вы не получите).

***

Как же составлять модель?

Пример модели с уравнением

Разберемся на конкретном задании:

1 февраля 2013 года Александр открыл вклад на некоторую сумму (в рублях) под 20% годовых и предполагает каждый год в этот же день переводить банку такую же сумму, но иных операций со счётом не производить. При этом проценты начисляются на накопленную сумму 31 января каждый год. К исходу 31 января 2016 года у Александра было на счёту 54600 рублей. Найдите сумму, на которую был открыт вклад.

Обозначим за S сумму, на которую был открыт вклад. Эту же сумму Александр добавляет каждый год после начисления процентов (запомним это). Процент равен 20. В задаче фиксируют цену спустя 3 года.

В таблице мы можем с вами сделать 2 столбика. Первый назовем суммой на начало. Второй — суммой после начисления процента.

Теперь последовательно будем записывать то, что происходит по смыслу задачи. В первую строчку первого столбца запишем нашу переменную S. После того, как банк начислит проценты, нам необходимо добавить 20% от нашей суммы на начало рассматриваемого периода.

Один раз разберем подробно получение итогового числа, дальше будем сразу умножать на 1,2.

Теперь перейдем ко второй строке. По условию задания, Александр каждый год после начисления процентов добавляет такую же сумму на вклад, на которую вклад открыт.

Обратите внимание, что он не удваивает сумму, которая получилась после начисления процентов, а добавляет такую же сумму, на которую он открыл вклад.

То есть на начало следующего периода будет та сумма, которая лежит на вкладе (1,2S) + сумма, на которую был открыт вклад (S).

Дальше нам необходимо всю эту величину умножить на 1,2 (добавить к ней 20%). Поэтому мы каждое слагаемое умножаем на 1,2.

Можно было сразу посчитать сумму на начало периода и именно ее умножать на 1,2. Однако мы топим за оптимальные способы вычислений, поэтому позже вы увидите прелесть предложенной формы записи :)

Для третьей строчки повторяем преобразования из предыдущей строчки:

Так мы закончили составлять таблицу. Теперь надо составить модель.

Из условия нам сказали, что спустя 3 года (после начисления процентов) у Александра на счету оказалось 54600 рублей.

Именно это мы и запишем. Самая последняя сумма после начисления процентов равна 54600.

Вот теперь мы получили 1 балл. Осталось решить данное уравнение. Тогда получим второй.

Давайте поговорим о полезных преобразованиях. Возводить 1,2 в третью степень не очень удобно. Возводить в степень проще обыкновенные дроби. Поэтому мы представим 1,2 как 6/5:

Теперь мы умножим обе части на наибольший знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

Теперь у нас не будет дробей или чисел с огромным количеством знаков после запятой.

Осталось вынести общие множители, выразить S и сократить полученную дробь:

Когда моделью является уравнение, ответ в 99% случаев будет либо целым числом, либо десятичной дробью.

Заметьте, что вынесения и разложения на множители позволяют не считать больших чисел, что в разы уменьшает время решения и в разы снижает вероятность допустить ошибку по невнимательности.

***

Пример модели с неравенством

Теперь разберем задачу, где моделью будет служить не уравнение, а неравенство (такое тоже бывает). Задача будет взята с реального ЕГЭ предыдущих лет.

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей.

За х возьмем сумму, которую добавляют в начале 3 и 4 годов. Все остальное нам известно. Принцип составления таблицы будет тем же. Только первые 2 года ничего не добавляется и сумма на начало следующего периода будет равна сумму после начисления процентов предыдущего:

Теперь переходим к модели. На этот раз нам говорят, что конечная сумма станет не меньше (больше или равна) 30 млн (мы можем решать все в миллионах, поэтому не обязательно 10 и 30 умножать на 10 в 6 степени).

Запишем через неравенство, что конечная сумма больше или равна 30:

Ну все, 1 балл получен. Теперь решаем:

В неравенствах чаще всего получаются «плохие» значения, но вернемся к условию задачи. Нам сказали, что сумма, которая добавляется в начале 3 и 4 годов, является целым числом. Какое же наименьшее целое число больше или равно 6 с чем-то? Конечно же 7!

В целом, задачи на вклады не очень сложные, но вам необходимо разобраться в том, как начисляются проценты. Дополнительно стоит прорешать и отработать различные прототипы заданий, чтобы вся эта информация у вас закрепилась!)

Ну а если здесь все у тебя хорошо, предлагаю ознакомиться со следующими темами экономических задач :)

***