Как доказать, что четыре точки лежат на одной окружности?

***

В экзамене можно встретить формулировки заданий, в которых вас попросят доказать, что какие-то точки должны лежать на одной окружности.

Бояться такого задания не стоит. Несмотря на то, что звучит подобное задание как минимум странно, доказательство подобного не вызовет у вас особых трудностей, если вы просто будете понимать, как это можно сделать.

Всего можно выделить несколько основных способов сделать это.

1) Доказать, что, соединив 4 точки, вы получите четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Для этого достаточно доказать, что противоположные углы в данном четырехугольнике в сумме дают 180 градусов. Подробнее о том, почему это работает именно так, можно прочитать в статье "Комбинации с окружностью (часть 2)".

1*) Доказать, что полученный четырехугольник является равнобедренной трапецией.

Дело в том, что в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Тогда мы также можем вспомнить, что односторонние углы (фиолетовый и синий) в сумме дают 180 градусов. Отсюда будет следовать, что противоположные углы в сумме тоже дают 180 градусов, а значит, около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Также верно и то, что если около трапеции можно описать окружность, то она обязательно будет равнобедренной (попробуйте доказать это самостоятельно).

2) Равные углы должны опираться на одну сторону.

Без рисунков тут не обойтись. Дальше рассмотрим каждый этап по отдельности.

Сначала есть 4 точки

Теперь соединяем точки так, чтобы получилось два угла, опирающихся на одну дугу

Если углы равны, то можно описать окружность

Здесь необходимо воссоздать картину, когда два вписанных угла, опирающихся на одну хорду (дугу), равны. Это происходит в окружности. Поэтому и появляется окружность 😂

Использование данного факта можно встретить в задачах на пересечение двух высот треугольника. Подробнее об этом рассказывали здесь.

3) Ну и куда без ситуации, в которой мы точно знаем, что наши 4 точки находятся на одинаковом расстоянии от какого-то одного центра.

В этом случае мы просто говорим, что данные равные отрезки можно принять за радиусы одной и той же окружности и сказать, что там формируется окружность по определению. Про основы окружности написано в статье "Окружность (часть 1)".

Но во второй части этот вариант встречается не так часто, как описанные выше способы.

Ну вот и все. Теперь вы будете понимать, ЧТО ИМЕННО от вас хотят, когда просят доказать, что 4 точки лежат на одной окружности, а значит, вы с большей вероятностью справитесь с подобным заданием!

***