Элементы треугольника

***

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.

Уверен, что многим из вас это и так было известно, поэтому предлагаю копнуть немного дальше и узнать больше фактов об этом элементе, которые особенно пригодятся во второй части экзамена.

1. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.

Точки А и В равноудалены от сторон угла (перпендикуляры, проведенные из этих точек к сторонам угла, равны)

При этом всем верно и обратное.

Если точка равноудалена от сторон угла, то она обязательно лежит на биссектрисе этого угла.

Доказывается через равенство двух полученных треугольников, которое приводит к равенству углов.

Это не самый запоминающийся факт. Многие даже не вспоминают о нем, так как не часто его используют, однако знание этого факта может сильно помочь при анализе возможных дополнительных построений во второй части экзамена.

Если уже есть биссектриса и перпендикуляр, который опущен из точки, лежащей на этой биссектрисе, то очень часто имеет смысл провести еще один перпендикуляр к другой стороне угла. В банке ФИПИ есть задачи на подобные построения. Большая часть из них используется при доказательстве первого пункта планиметрии второй части.

Если вы очень внимательны и/или до просмотра этой темы изучили тему окружностей, то вам этот рисунок может показаться очень знакомым. Из определения окружности следует, что точки А и В можно рассмотреть как центры окружностей, вписанных в данный угол, а проведенные перпендикуляры представить в виде радиусов этих окружностей.

Также похожая ситуация складывается, если провести из одной точки две касательные к одной окружности.

2. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Самое интересное заключается в том, что этот факт полностью вытекает из предыдущего.

Вы можете попробовать самостоятельно это прочувствовать.

1) Нарисуйте треугольник и проведите 2 пересекающиеся биссектрисы.

2) Из точки пересечения опустите перпендикуляры к сторонам углов, из которых вы провели биссектрисы.

3) Так как перпендикуляры должны быть между собой равны, получается, что из точки пересечения биссектрис выходит 3 равных между собой отрезка. Значит, концы этих перпендикуляров лежат на одной окружности, а сами перпендикуляры являются радиусами (следует из определения окружности).

4) Вы также можете соединить точку пересечения биссектрис с вершиной оставшегося третьего угла. Полученный отрезок будет являться частью биссектрисы, по обратному свойству, описанному выше (если точки равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе).

Что это все означает? Важно уже сейчас понять, что в геометрии на самом деле достаточно выучить базовые факты (их не мало). Остальные будут выводиться уже из них.

Если вы научитесь понимать взаимосвязь между всеми этими теоремами и свойствами, вам не придется зубрить тонны формул, а самое важно заключается в том, что вы научитесь применять все эти знания на практике и будете видеть, что от вас хотят в той или иной задаче.

3. Теорема о биссектрисе.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Еще один факт, который почти никогда не применяется в заданиях первой части планиметрии, но крайне важен для второй части.

Как показывает практика, тема отношений является одной из самых сложных для учеников.

Иногда в условиях задачи дают какое-то отношение, а ученик банально не понимает, зачем оно тут необходимо и как его использовать.

При этом отношения крайне часто встречается в теме подобий треугольников, с которой тоже часто возникают трудности.

Достаточно часто вы будете сталкиваться с ситуацией, когда знание сторон треугольника решило бы вам задачу. Выше описанная теорема порой помогает найти более мелкие стороны (в нашем случае AD и DC), зная три стороны исходного, или же, наоборот, (найти сторону исходного, зная маленькие).

Также знание этого отношения может помочь, если в задаче речь идет о площадях треугольников или других фигур, полученных при делении исходного.

4. Нахождение длины биссектрисы.

Есть несколько способов нахождения биссектрисы, но хочу предложить наиболее оптимальный, если вы хорошо отработаете понимание предыдущего пункта (рассмотрим на примере этого же рисунка).

Как и предыдущие пункты, нахождение длины биссектрисы в основном применяется во второй части экзамена.

Вообще нахождение длин высот, медиан и биссектрис используется редко, но порой очень метко, поэтому лучше перестраховаться и выучить эту формулу. Другие способы нахождения длин биссектрис потребуют от вас знания большего количества теорем и свойств. Однако все из них проходятся у нас на курсе, на который вы можете записаться)

***

Высота в треугольнике

Высота в треугольнике — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В определении высоты очень важно обратить внимание именно на то, что высота проводится к прямой, которая содержит противоположную сторону. Иногда у школьников возникает проблема проведения высоты в тупоугольном треугольнике, однако, прочувствовав саму идею и отработав ее, будет сильно проще в дальнейшем работать с этой фигурой.

Теперь предлагаю разобрать ситуации и свойства высоты, которые могут пригодиться на экзамене.

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке (в ортоцентре).

Если спросить себя, где и для чего в первой части экзамена была проведена высота, то почти всегда она использовалась для нахождения площади или для рассмотрения прямоугольного треугольника, стороной которого как раз являлась бы высота.

На самом же деле есть несколько типовых идей, связанных с точкой пересечения (обычно двух) высот, которые могут попасться именно во второй части экзамена.

2. Подобные треугольники при проведении двух высот в треугольнике.

Доказательство этого факта не очень сложное, но полезное для запоминания.

Необходимо рассмотреть прямоугольные треугольники ABA₁ и СBС₁. В первом треугольнике cos∠B = A₁B : AB (отношение прилежащего катета к гипотенузе). Аналогичным образом во втором треугольнике cos∠B = С₁B : BC.

В таком случае можно сказать, что A₁B : AB = С₁B : BC. Если еще учесть, что ∠B является общим для треугольников АВС и A₁BС₁, то смело можно утверждать, что треугольники АВС и A₁BС₁ являются подобными (две стороны пропорциональны, а угол между пропорциональными сторонами одинаковый).

При этом важно отметить, что A₁B : AB = С₁B : BC = k (коэффициенту подобия), но в то же время мы знаем, что каждое такое отношение равно cos∠B. Отсюда следует, что A₁B : AB = С₁B : BC = k = cos∠B.

Дополнительно хочу обратить ваше внимание на рисунок. Посмотрите, какие углы равны. Помните, что равные углы лежат именно напротив пропорциональных сторон и наоборот (пропорциональные стороны лежат напротив равных углов).

Довольно часто в таких задачах просят найти какой-то элемент большого или маленького треугольника. В этом случае как раз поможет нахождение пропорциональных друг другу элементов, отношение которых будет равняться косинусу верхнего угла.

3. Окружности при проведении высот.

На этой же картинке зоркий глаз заметит возможность для рассмотрения нескольких окружностей.

Первая из них сосредоточена на точках A, С, A₁ и С₁.

Два равных угла ∠AС₁С и ∠AA₁С опираются на одну сторону (хорду) АС.

Это открывает путь для доказательства равенства других углов. Например, так можно доказать, что равны ∠A₁СС₁ и ∠С₁АA₁ или ∠A₁АС и ∠A₁С₁С (опираются на одни и те же дуги).

Вторая окружность территориально находится сверху и связывает вершины верхнего маленького треугольника и точку пересечения высот.

Это происходит потому, что в четырехугольнике ОС₁ВA₁ противоположные углы (по 90 градусов) в сумме дают 180 градусов, а значит, этот четырехугольник можно вписать в окружность. Более того отрезок BO будет являться диаметром этой окружности, так как на него опирается прямой вписанный угол ОС₁В (или угол ВA₁О).

***

Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр к отрезку, который проходит через середину этого отрезка. (Логично, ничего не скажешь).

Зачем он нужен? Что нужно про него знать? Как часто используется на экзамене?

Ответим на эти вопросы в данной статье.

1. Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

Доказывается это не очень сложно.

Важно лишь заметить, что в полученных треугольниках высота является в то же время медианой. Поэтому мы можем утверждать, что они являются равнобедренными, а значит, боковые стороны этих треугольников равны.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности.

В первой части серединный перпендикуляр встречается крайне редко. Про вторую часть можно сказать почти также :)

Однако знайте, по закону подлости может оказаться, что именно вам попадется задача на использование свойств серединных перпендикуляров. Поэтому как минимум полезно держать эти свойства у себя в голове и периодически повторять их.

Большинство задач второй части содержат в себе несколько идей, где тема серединного перпендикуляра может не быть основной. При этом она может оказаться той самой маленькой деталью пазла, которая поможет собрать целостное представление о задаче.

***

Медиана

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Разберемся в том, что необходимо знать про медиану, чтобы успешно справиться с заданиями на экзамене.

1. Медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Все, что так или иначе связано с отношениями, любят спрашивать во второй части экзамена. Иногда необходимо использовать это свойство напрямую, чтобы найти какой-либо спрашиваемый элемент задачи, но достаточно часто это свойство используют как первый этап для нахождения чего-то более трудного.

Так, есть задачи, где на самих медианах ставят дополнительные точки, после чего их соединяют с серединами сторон треугольника, получая шестиугольник, с которым дальше необходимо работать. Подобные задания подробно рассматриваются на курсе МГ.

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих.

Во второй части встречаются задачи на нахождение площадей отдельных кусочков фигур. В этом случае полезно обращать внимание на отношение оснований треугольников, лежащих на одной прямой.

Случай медианы является частным для более общей картины, которую приведем ниже.

Если в треугольнике провести какой-то отрезок (например, BD), то площади полученных треугольников будут относиться как их основания.

При проведении медианы площади равны, так как равны отрезки, на которые поделилось основание.

3. Нахождение длины медианы.

Также во второй части экзамена в некоторых случаях бывает крайне полезно найти длину медианы треугольника для вычисления других спрашиваемых величин. Это относительно легко сделать, если вы знаете 3 стороны треугольника.

Вообще, зная три стороны треугольника, можно найти все, что потенциально могут спросить на экзамене.

Разберем поэтапно каждое действие, которое необходимо будет выполнить для нахождения длины медианы.

Сначала определим, какую медиану будем искать.

В нашем случае рассмотрим треугольник с тремя известными сторонами и найдем длину медианы, проведенной к стороне «c» (по аналогии можно будет взять любую другую медиану).

Дальше на прямой, где лежит наша медиана, откладываем точно такой же по длине отрезок, как и наша медиана.

Теперь соединяем две вершины треугольника (из которых не выходит медиана) с концом построенного отрезка. В этом случае мы получаем четырехугольник, который будет являться параллелограммом.

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ну а вот теперь для кого-то начнется настоящая магия. У параллелограмма есть одно очень классное свойство, которое касается его сторон и диагоналей.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

В нашем случае мы применяем этот факт для нахождения длины медианы. Останется всего лишь выразить ее из полученного равенства и можно подставлять числа.

Этой формулой можно пользоваться на ЕГЭ без вывода, но ее крайне непросто запомнить, поэтому лучше понять идею того, как она выводится, чтобы на экзамене самому без проблем вывести ее.

Чтобы найти длину медианы к другой стороне, повторяем аналогичные действия. Можете попробовать сделать это самостоятельно.

***