Задание №63640 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

Будем рассматривать сечение конуса плоскостью, проходящей через высоту перпендикулярно основанию конуса. 
и - пара противоположных точек касания верхнего основания куба и боковой поверхности конуса.
Если теперь ребро куба обозначить  то как диагональ квадрата со стороной

В силу симметрии, высота конуса проходит через центры оснований куба.
Поэтому:

Из прямоугольного треугольника

Треугольники и подобны по двум углам, отсюда:
 
   
Значит объем куба равен

Ответ: 216

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)