Задание №63570 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Пусть среди написанных чисел положительных,  отрицательных и  нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 
а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому  - количество целых чисел - делится на 7. По условию поэтому Таким образом, написано 49 чисел.
б) Приведём равенство  к виду  Так как  получаем, что  откуда  Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.
в) Подставим  в правую часть равенства   откуда  Так как  получаем:   то есть отрицательных чисел не более 22.
Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число -7 и два раза написан 0. Тогда  указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Верно выполнены a), б), в) - 4 балла
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в), пример - 3 балла
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в), пример - 2 балла
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в), пример - 1 балла
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)