- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 63568
Задание №63568 ЕГЭ по Математике (профиль)
Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность.
Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 
Решение:
Обозначим данный треугольник 
- основание, 
Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, - окружность, вписанная в треугольник 
Пусть 
- её центр, а 
- точка касания с основанием 
Обозначим 
Так как 
- биссектриса треугольника 
то 
следовательно, 
Пусть прямая 
перпендикулярна 
касается окружности, пересекает 
в точке 
а 
в точке 
(рис. 1). 
Тогда в треугольнике 
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: 
откуда находим: 
Пусть прямая 
перпендикулярна 
касается окружности, пересекает 
в точке 
, а 
в точке 
(рис. 2). В прямоугольном треугольнике 
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: 
Обоснованно получен верный ответ - 3 балла
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины - 2 балла
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: 
или 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)