Задание №63411 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)  Поскольку ABCD  — квадрат, то а значит, прямая CD параллельна плоскости ABP и поэтому CD не имеет общих точек с прямой PK, лежащей в плоскости сечения. Так как PK и CD не имеют общих точек и лежат в плоскости SCD, они параллельны.
В треугольнике SND прямая PK проходит через середину SD параллельно ND, то есть содержит среднюю линию треугольника, а значит, пересекает SN в её середине. Это и требовалось доказать.

б)  Из того, что  и следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN  — точки E.
Так как ABCD  — квадрат, его диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому треугольник CHD прямоугольный и равнобедренный, а медиана HN перпендикулярна CD. Через точки S, N и H проведём плоскость, которая пересекает ребро AB в точке L. Поскольку LN содержит HN, то и откуда следует, что четырехугольник ADNL  — прямоугольник и то есть L  — середина AB.
Так как отрезок SL  — медиана в равнобедренном треугольнике SAB с основанием AB, то Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым LN и SL, она перпендикулярна плоскости SNL, а раз AB лежит в плоскости ABS, плоскости ABS и SNL перпендикулярны. Тогда перпендикуляры NT и EF к плоскости ABS из точек N и E плоскости SNL попадут на прямую их пересечения SL.
Прямоугольные треугольники SAL и SDN равны по гипотенузе  и катету  поэтому другие катеты SN и SL также равны. Рассмотрим равнобедренный треугольник SNL, в котором основание а высота и медиана к нему По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём 

Теперь найдём высоту NT треугольника SNL, для чего выразим его площадь двумя способами: откуда поэтому В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ При обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)