Задание №63166 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

I способ.
1) Поскольку делится точкой пересечения с окружностью в отношении имеем:
откуда 
2) Проведем Поскольку в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы имеем  Тогда и - равносторонний треугольник. Тогда
откуда 

II способ.
1) Поскольку делится точкой пересечения с окружностью в отношении имеем:
откуда  и 
2) Так как - равнобедренный треугольник, его высота  является также и медианой, следовательно, точка  - точка пересечения медиан треугольника  Но центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис. Поскольку точка пересечения медиан треугольника  и точка пересечения его биссектрис совпадают, треугольник  - равносторонний треугольник, откуда получаем

Ответ: 36

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)