- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 63080
Задание №63080 ЕГЭ по Математике (профиль)
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?
Решение:
Обозначим:
- сумма кредита в банке и она равна 10 млн. рублей;
- количество лет погашения кредита.
Разберёмся сколько мы будем выплачивать каждый год. «В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года». Это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга ( поделить на количество лет 
т.е 
+ % начисленные за этот год (0,1 · долг). Задача на дифференцированный платёж.
Составим таблицу:
| Год | Долг | Платёж | Долг после платежа | |
| до % | после % | |||
| 1 | |  |  |  |
| 2 |  |  |  |  |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| n |  |  |  | 0 |
Сложим все платежи:
Сложив все Sn получим ровно S. А у % вынесем общий множитель:
В скобках видим арифметическую прогрессию, по формуле найдём её сумму:
Подставим полученную сумму:
Вместо подставим 10. Зная что сумма всех платежей равна 15 получим уравнение:
Обоснованно получен верный ответ - 2 балла
Верно построена математическая модель - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: 9
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)