Задание №63038 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
a) Попробуем подобрать подходящую последовательность из ста членов, которая бы содержала только пять чисел.
Пусть она, например, такова:

при этом


Итак, подойдет, например, следующая последовательность из ста чисел:

б) Если -м оказалось число 75, то  что невозможно (последовательность состоит из натуральных чисел), либо  что допустимо.
Опять же, рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что  и так далее.
Итак, 
в) Ясно, что если мы ищем наименьшее значение наибольшего члена последовательности, то в процессе формирования этой последовательности должно присутствовать действие, которое бы уменьшало тот член последовательности, что превысил 98.
То есть то, что наименьшее значение наибольшего члена последовательности больше 98, - это ясно.
Тот член последовательности (максимальный), что уменьшается на 98, должен быть четным, иначе бы до этого также должно было произойти уменьшение члена последовательности на 98, что не выгодно.
Попробуем подобрать число вида не сильно большие 98.

Вариант 112 – весьма неплохой.
Рассмотрим последовательность:

и покажем, что невозможно подобрать требуемую последовательность с наименьшим значением наибольшего члена, меньшим 112.
Достаточно, как мы уже выяснили, искать наименьшее значение наибольшего члена последовательности среди четных чисел от 98 до 112.
– не интересна последовательность;
– не интересна последовательность;
– не интересна последовательность;
– не интересна последовательность;
– не интересна последовательность;
– не интересна последовательность.
Итак, наименьшее значение наибольшего члена указанной в условии последовательности, - 112.

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. - 4 балла
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов - 3 балла
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. - 2 балла
Верно получен один из следующих результатов:
- обоснованное решение в п. а;
- пример в п. б;
- искомая оценка в п. в;
- пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 112

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)