Задание №63036 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а)  Заметим, что  поэтому треугольники и подобны, а тогда Поскольку плоскость проходит через прямую параллельную плоскости пересекает по прямой, параллельной Пусть эта прямая пересекает и в точках и соответственно. Тогда прямые и параллельны.
Кроме того, по условию, поэтому прямые и параллельны а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение  - параллелограмм.
Скрещивающиеся рёбра правильной пирамиды взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярны соответственно параллельные им прямые и Тем самым, стороны сечения перпендикулярны, следовательно, сечение  - прямоугольник. Это и требовалось доказать.
б)  Пусть   - середина Проведём и и пусть плоскость пересекает по прямой Тогда а расстояние от точки до плоскости равно   - расстоянию между параллельными прямыми и Найдем его.
В треугольнике длина  Проведём высоту треугольника  и найдем её. Пусть  тогда , тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников и получаем: 

Тогда 
По условию,  поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту в том же отношении, считая от точки Следовательно, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ:

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)