Задание №62886 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть N' и O'  — проекции точке N и O на плоскость ABC. Тогда по свойствам проектирования и O'  — середина BC. Далее пусть P  — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия треугольников ABD и PBN' по острому углу следует и Имеем и что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой.
Аналогично можно установить, что и проекция NO на плоскость ABB₁ проходит через A. А отсюда следует, что и NO проходит через точку A.

б)  Прямые BD₁ и CB₁  — скрещивающиеся, расстояние между ними есть длина их общего перпендикуляра. Длина общего перепендикуляра наименьшая среди длин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Из вышесказанного заключаем, что NO перпендикулярен и BD₁, и CB₁. Тогда CB₁ перпендикулярна наклонной AO, а следовательно, по теореме о трех перпендикулярах и её проекции BO. Следовательно, BB₁C₁C  — квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.
Пусть Используя пространственную теорему Пифагора запишем: и   откуда  

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ При обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)