- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62885
Задание №62885 ЕГЭ по Математике (профиль)
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если 
а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Решение:
а) По свойству средней линии трапеции MN || AD. По признаку параллельности прямой и плоскости AD || α. Так как точка O расположена ближе к меньшему основанию ВС, а точки S и O лежат в одном полупространстве относительно плоскости α, эта плоскость пересекает грань SAD. Пусть плоскость α пересекает прямые SD и SA в точках K и L соответственно. Прямая KL параллельна прямой AD, а прямая AD параллельна прямой MN, поэтому прямые KL и MN параллельны. Из этого следует, что сечение KLMN — параллелограмм или трапеция.
Докажем, что сечение не является параллелограммом. Рассмотрим плоскость SAC. Пусть прямая AO пересекает прямую MN в точке P. Из параллельности прямой SO плоскости α следует, что прямые PL и SO параллельны. Аналогично рассмотрим плоскость SDB. Пусть прямые BD и MN пересекаются в точке Q. Из параллельности прямой SO плоскости α следует, следует, что прямые KQ и SO параллельны. Тогда четырехугольник PLKQ — параллелограмм, следовательно, 
В четырехугольнике MLKN противоположные стороны не равны, а потому он не является параллелограммом. Значит, он является трапецией.
б) По свойству средней линии трапеции MN = 9. Далее рассмотрим плоскость SAC. Пусть AO пересекает MN в точке P. Тогда из SO || α следует, что PL || SO и PL перпендикулярен MN. Кроме того, MP = 4 по свойству средней линии треугольника ABC. Рассматривая аналогично плоскость SBD, можно получить, что KL = 1.
Теперь найдем высоту LP трапеции KLMN. Из подобия треугольников AOD и COB имеем 
А из подобия треугольников APL и AOS имеем 
(учтем также, что P — середина AC). Получаем 
Окончательно 
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: 36
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)