Задание №62884 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Прямая BN — проекция B₁N на плоскость ABCD. Треугольники BCM и ABN равны по двум катетам, следовательно,
откуда следовательно, прямая BN перпендикулярна прямой CM. По теореме о 3-x перпендикулярах прямые B₁N и CM перпендикулярны, ч. т. д.

б) Проведём прямую NP параллельную прямой CM. Треугольник NPD подобен треугольнику CMB, значит,

Рассмотрим пирамиду B₁CPN. Пусть отрезок h₁ — высота, проведенная из точки B₁, а отрезок h₂ — высота, проведенная из точки С. Тогда (записан двумя способами утроенный объем пирамиды). Найдем h₁ по т. Пифагора

откуда  получаем 
Так как прямые NP и CM параллельны, то отрезок B₁N перпендикулярен прямой NP, следовательно, 
Значит, 
Тогда 

Ответ: б) 2

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)