Задание №62883 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть O  — центр квадрата ABCD. Рассмотрим плоскость SAC. Плоскость α пересекает её по прямой, параллельной SA. Это прямая MO. Тогда плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой NO. Пусть NO пересекает AD в точке K. В силу симметрии ABCD относительно O имеем Но из параллельности плоскости α и прямой SA получаем, что прямые KL и SA параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках что и требовалось.

б)  Пусть NK пересекает CD в точке P. Из подобия прямоугольных треугольников PKD и PNC по острому углу получаем, что PD  =  CD. Отмети, что объем MLDKNC равен разности объемов пирамид MPNC и LPKD. Выразим объемы этих пирамид через объем SABCD.
Так как M  — середина SС, то высота пирамиды MPNC равна половине высоты SABCD, в тоже время  откуда
Из доказанного в пункте а) следует  а это значит, что высота высота пирамиды LPKD равна трети высоты SABCD, а  откуда

Окончательно,  откуда немедленно следует ответ.

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 5 : 13

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)