Задание №62472 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Система равносильна

Сделаем замену  Тогда система примет вид:

Пусть S — множество точек плоскости xOp, лежащих либо на части гиперболы  лежащей выше прямой  либо на прямой 
Необходимо найти те a, при которых прямая  проходящая через начало координат плоскости xOp имеет ровно две точки пересечения с множеством S.
Найдем точки пересечения гиперболы  и прямой 

Получаем точки  и 
Изобразим граничные положения прямой 

Нам подходят все  (положение 5). При  нам подходят все положения между 4 (когда  горизонтальна) и 3 (когда  проходит через точку ), положение 2 (когда  параллельна прямой ), а также положение 1 (когда  касается гиперболы), если в положении 1 параметр 
п.(1)
Прямая  - касательная к графику  в точке x, если


п. (2)
Прямая  параллельна прямой 

п. (3)
Прямая  проходит через точку  если

п. (4)

п. (5)

Следовательно, ответ 

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)