Задание №62466 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Сделаем замену Тогда система равносильна:


Пусть S — множество точек плоскости  лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой
Необходимо найти те a, при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством S.
Найдем точки пересечения параболы и прямой


Получаем точки и
Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят следующие положения.
Положение 1, при котором прямая параллельна прямой
Все положения между положением 2, когда прямая проходит через точку и положением 3, когда прямая проходит через точку включая положение 2.
Положение 4, когда прямая касается левой ветви параболы.
Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.
Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то
Положение 2. Прямая  проходит через точку

Положение 3. Прямая проходит через точку

Положение 4. Прямая касается параболы если имеет единственное решение уравнение


Следовательно, его дискриминант


При прямая касается части параболы, лежащей выше прямой то есть не принадлежащей множеству S, так как точка касания ищется по формуле При прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит
Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)