Задание №62464 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Система определена при На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

(при x = 0 получается неверное равенство 0 = 8)
В координатах получаем прямую и гиперболу в области
Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр a отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.
Точка пересечения прямых и при каждом фиксированном a является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой а второй раз в области ниже прямой
Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положения 1 и 2. Прямая касается гиперболы если уравнение


имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю:


Гипербола пересекается с прямой при



Получаем  и 
Найдем значения параметра, при которых прямая проходит через эти точки.
Положение 3:
При этом значении параметра решением системы является точка и вторая точка пересечения гиперболы с прямой которая находится в пределах области выше прямой Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.
Положение 4:
При этом значении параметра решением системы является точка а вторая точка пересечения гиперболы с прямой находится в пределах области ниже прямой Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.
Тогда окончательно имеем

Обоснованно получен правильный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)