Задание №62433 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а)  - как радиусы. Так как трапеция равнобедренная, то

Так как то но следовательно, тогда
В итоге стороны и четырёхугольника параллельны и равны, следовательно, - параллелограмм.

б)
Пусть - проекция точки на тогда

следовательно, точки и совпадают и
Пусть радиус данной окружности равен тогда из треугольника

Пусть - точка касания данной окружности и тогда Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то

Таким образом, прямоугольные треугольники и подобны по острому углу, следовательно,

Найдём при помощи формулы тангенса половинного угла:
Тогда

откуда 

тогда откуда следовательно,

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 12

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)