- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62431
Задание №62431 ЕГЭ по Математике (профиль)
- куб. На ребре 
отмечена точка 
так, что 
Через точки 
и 
проведена плоскость 
параллельная прямой 
а) Докажите, что 
где М - точка пересечения плоскости 
с ребром 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
Решение:
а) Рассмотрим треугольник 
Пусть 
- точка на 
такая, что 
Плоскость 
проходит через точку 
так как 
и проходит через точку 
а
Тогда 
- точка пересечения 
и 
Так как 
то 
Рассмотрим треугольники 
и 
Они подобны по двум углам, откуда
следовательно,
Рассмотрим треугольники 
и 
Так как 
то 
следовательно, треугольники и 
подобны по двум углам, откуда
следовательно,
откуда и получается доказываемое утверждение.
б) Опустим из точки 
перпендикуляр 
на 
Так как 
то - проекция 
на плоскость 
и 
- искомый.
Треугольники 
и 
подобны, откуда
следовательно,
следовательно, искомый угол равен 
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)