Задание №62415 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Каждый сотрудник должен получить кг золота. Это можно сделать следующим образом:
- шестнадцати сотрудникам выдать по 3 слитка массой 5 кг,
- одному сотруднику выдать 2 слитка массой 5 кг и 5 слитков массой 1 кг,
- остальным трём сотрудникам выдать по 15 слитков массой 1 кг. 

б) Тридцати пяти сотрудникам надо выдать кг золота, то есть по кг золота каждому из них. Тогда среди слитков по 1 кг каждый из этих сотрудников должен получить минимум по 3 слитка, но тогда слитков должно быть не менее что неверно. Таким образом, так премии выдать не удастся.

в) Можно распределить премии так, что среди слитков по 1 кг каждый сотрудник, кроме одного, должен получить по 4 слитка: все сотрудники получают по 4 кг золота, кроме одного, который получает всё остальное.
Отсюда следует, что ответ в задаче не может быть больше 13, иначе можно распределить тринадцати сотрудникам по 4 кг золота, но такую премию выдать нельзя, так как тогда среди слитков по 1 кг каждый из этих тринадцати сотрудников должен получить по 4 слитка, но ведь таких слитков
Докажем, что тринадцати сотрудникам премии удастся выдать при любом допустимом распределении. Достаточно убедиться в том, что двенадцати сотрудникам можно выдать премии при любом допустимом распределении на 13 человек, ведь если 12 сотрудников смогут забрать свои премии, то тринадцатый автоматически должен забрать всё остальное, что он всегда сможет сделать.
Для первых двенадцати сотрудников (мы их как-то занумеровали, неважно, как именно) можно поступить так: пусть - массы золота, распределённые в качестве премий сотрудникам с первого по двенадцатого соответственно. 
Пусть – остатки от деления на 5 чисел соответственно. Тогда каждому i-ому из первых двенадцати сотрудников можно сначала выдать часть премии в виде слитков по 1 кг, после чего массы невыданных частей премий этих двенадцати сотрудников станут кратны 5, следовательно, оставшиеся части премий массами заведомо можно будет выдать при помощи оставшихся слитков.
Тринадцатый сотрудник может получить оставшееся золото после того, как первым двенадцати будут выданы их премии.

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 13.

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)