Задание №62414 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Выражая из второго уравнения и подставляя результат в первое уравнение исходной системы, получим

таким образом, задача сводится к нахождению всех а, при которых полученное уравнение имеет более двух решений.

Рассмотрим два случая: 
1) 
В этом случае уравнение примет вид 
– при  это линейное уравнение, следовательно, при оно имеет не более одного решения на рассматриваемом множестве. При у него бесконечно много решений, следовательно, идёт в ответ.

2) 
В этом случае уравнение примет вид

- квадратное уравнение, следовательно, оно имеет не более двух решений на рассматриваемом множестве.
Пусть Так как требуется, чтобы уравнение, полученное в начале решения, имело три корня или более, то нам необходимо и достаточно, чтобы в пункте 1) было одно решение, а в пункте 2) было два различных решения. Тогда согласно пункту 1) и откуда

При этом из пункта 2) имеем: дискриминант

чтобы уравнение имело хоть какие-нибудь различные два корня, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено

Кроме того, корни уравнения в пункте 2) должны удовлетворять неравенству 

что равносильно системе

Итого, в случае подходят для которых выполняются условия

откуда находим 

Окончательный ответ: 

Обоснованно получен верный ответ – 4 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано – 3 балла
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной – 2 балла
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически), ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполены все шаги решения – 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше – 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)