Задание №62412 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Пусть Q - точка пересечения биссектрисы угла DAP со стороной CD. Пусть S - точка пересечения AQ и PD. Так как то AQ содержит медиану и высоту в треугольнике DAP, откуда следует, что и S - середина DP.
Таким образом, QS - медиана и высота в треугольнике QPD, следовательно, треугольник QPD равнобедренный и

Треугольник DPC - прямоугольный. Предположим, что некоторая точка – середина тогда ( - медиана, проведённая к гипотенузе), следовательно, но следовательно, точки и лежат на одной прямой, то есть лежит на а также лежит на Но две не совпадающие прямые могут иметь не более одной общей точки, следовательно, наше предположение неверно и – середина
Тогда следовательно, (по трём сторонам), откуда получаем, что - биссектриса угла то есть - точка пересечения биссектрис углов и Так как двух точек пересечения у несовпадающих прямых быть не может, то биссектрисы углов и пересекаются на стороне (в точке ).

б) В четырёхугольнике следовательно, и - прямоугольник. Рассмотрим прямоугольные треугольники и - общий, следовательно, треугольники и подобны по острому углу, следовательно,

но тогда

Аналогично треугольники и подобны, откуда

но тогда

следовательно,

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)