Задание №62410 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Пусть О – проекция точки М на плоскость и - проекции на плоскость точек P и Q соответственно.

Плоскость проходит через и Пусть H - точка пересечения MD и PQ, H′ - её проекция на плоскость
Так как PQ - средняя линия в треугольнике MAC, то H – середина MD (в силу подобия треугольников и по двум углам).
Рассмотрим прямоугольные треугольники и – общий, следовательно, треугольники и подобны по острому углу, откуда

Так как пирамида  правильная, то - точка пересечения медиан треугольника следовательно,

откуда получаем, что что и требовалось доказать.   

б) Прямая параллельна прямой и не лежит в плоскости следовательно, Обозначим расстояние через Так как то

Так как то Кроме того, следовательно, откуда
Найдём DB по теореме Пифагора в треугольнике BDC:

откуда
Замечание. Ответ не зависит от длины ребра

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)