- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62326
Задание №62326 ЕГЭ по Математике (профиль)
Среди посетителей одного из магазинов был проведён опрос. Известно, что каждому опрошенному целое число лет. Участник опроса попадает в возрастную категорию А, если ему более 40 лет, иначе он попадает в категорию Б. Спустя 4 года опрос был проведён повторно, причём среди тех же людей, что и в первый раз.
а) Могло ли оказаться так, что во время повторного опроса средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что при повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, понизился, и средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний возраст опрашиваемых составил 40 лет, средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, составил 28 лет, а средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, составил 55 лет. При повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, стал равен 31 году, а попавших в категорию А – 57 годам. При каком наименьшем числе участников опроса возможна такая ситуация?
Решение:
а) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали изначально три человека, одному из которых было 40 лет, а двум другим по 10 лет. Тогда их средний возраст при первом опросе был 20 лет, а при втором опросе в категории Б остались только двое, которым исполнилось по 14 лет, то есть их средний возраст стал 14 лет.
б) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали те же трое, что в пункте а), а в категорию А изначально попадали два человека, которым было по 70 лет.
в) Пусть количество опрошенных, которые попадали в категорию А при первом опросе, было равно 
а количество опрошенных, попадавших в категорию Б, было равно 
тогда суммарный возраст участников при первом опросе составлял 
причём
откуда, в частности, следует, что 
делится на 4, а 
делится на 5. Так как средний возраст в категории А вырос не на 4 года, то в категорию А должны были перейти опрошенные, которые ранее относились к категории Б. Пусть их ровно 
человек. Так как при повторном опросе им могло быть не более 44 лет, то суммарный возраст участников категории А за счёт появления этих человек не мог увеличиться более, чем на 
тогда
Так как 
то 
но 
делится на 4, следовательно, 
При 
имеем: 
Этот случай возможен только при 
Проверим, подходит ли нам этот случай. Пусть возраст перешедшего в категорию А из категории Б стал 
тогда
откуда 
- подходит по условию.
Таким образом, менее 18 человек быть не могло, а 18 человек могло быть, например, так:
в первый раз опросили 8 человек, каждому из которых было по 55 лет, одного человека в возрасте 37 лет и 9 человек, каждому из которых было по 27 лет.
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов
Ответ: а) да; б) да; в) 18
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)