- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62319
Задание №62319 ЕГЭ по Математике (профиль)
Две окружности касаются внутренним образом в точке 
причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда 
большей окружности касается меньшей в точке 
и 
- точки пересечения меньшей окружности с 
и 
соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Пусть 
- точка пересечения 
и 
Найдите 
если радиус большей окружности равен 5, а 
Решение:
а) Пусть 
и 
центры большей и меньшей окружностей соответственно. Так как 
и 
перпендикулярны касательной, проходящей через точку 
то точки 
и 
лежат на одной прямой. Пусть 
- точка пересечения этой прямой с большей окружностью, отличная от 
Докажем, что хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку 
относятся как их диаметры. Рассмотрим доказательство на примере хорд 
и 
Рассмотрим треугольники 
и 
Эти треугольники прямоугольные, так как 
- диаметр меньшей окружности (описанной около треугольника 
), а 
- диаметр большей окружности (описанной около треугольника ). При этом острый угол 
у них общий, следовательно, эти треугольники подобны. Из подобия получаем требуемое:
Для других хорд, лежащих на прямой, проходящей через точку 
утверждение доказывается аналогично.
Из доказанного следует, что
Рассмотрим треугольники 
и 
- общий, 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
следовательно, 
б) Опустим перпендикуляры 
и 
на 
По теореме Пифагора
Так как 
то 
- медиана в треугольнике 
следовательно, 
тогда 
Так как 
- радиус большей окружности и диаметр меньшей, то радиус меньшей окружности равен 
Рассмотрим прямоугольную трапецию 
Пусть 
перпендикуляр к 
тогда 
следовательно, по теореме Пифагора 
Тогда
Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку 
относятся как их диаметры, то 
- средняя линия в треугольнике 
тогда 
- средняя линия в треугольнике 
и 
- средняя линия в треугольнике 
следовательно,
По теореме о произведении отрезков хорд
откуда, с учётом равенства 
получим
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)