- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62301
Задание №62301 ЕГЭ по Математике (профиль)
В основании прямой призмы ABCА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Точка Р делит ребро АВ в отношении 
а точка Q – середина ребра A1C1. Через середину М ребра ВС провели плоскость α, перпендикулярную отрезку РQ.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро АС пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок А1С1, считая от точки А1, если известно, что АВ = АА1‚ 
Решение:
а) Пусть N — середина AC, NH — высота треугольника PNQ, точка T — середина ребра AB. Тогда CT и AB перпендикулярны, так как NP и CT параллельны, то NM и NP перпендикулярны. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая MN перпендикулярна PQ, прямые NH и PQ перпендикулярны по построению, следовательно, плоскость MNH перпендикулярна PQ, отсюда плоскость MNH — плоскость α. Следовательно, плоскость α содержит точку N, что и требовалось доказать.
б) Пусть P1 — точка, лежащая на ребре A1B1, A1P1 : P1B1 = 1 : 3. Прямая NH пересекает прямую P1Q в точке S. Плоскость α пересекает прямую A1C1 в точке R, тогда прямые RS и A1B1 параллельны. Пусть AB = 2x, BC = 7x. По теореме Пифагора:
Тогда 
QN = AA1, так как AB = 2x, имеем:
Отсюда 
следовательно, PH = 3x. Выразим длину HQ:
Выразим отношение PH к HQ:
Выразим отношение P1S к SQ:
тогда 
Ответ: 1 : 2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Ященко)