Задание №62299 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Так как  и  то грани  и  параллельны. Следовательно, плоскость (MKC) пересечет их по параллельным прямым. Значит, плоскость (MKC) пересечет грань  по прямой  где L — точка на ребре BB₁. Продлим MK до пересечения с прямой AA₁ в точке O. Тогда точка N, являющаяся точкой пересечения LO и A₁B₁, является одной из вершин сечения призмы плоскостью (MKC). Следовательно, MKCLN — сечение призмы плоскостью (MKC).
Так как  то достаточно доказать, что 
Из условия следует, что  Пусть также  Углы  и  равны как углы между попарно параллельными прямыми. Следовательно, по катету и острому углу равны  и  так как   Следовательно,  Значит, L — середина ребра BB₁.

 следовательно,  откуда 
 следовательно,  значит, можно обозначить 
По обратной теореме Фалеса, так как  то  Следовательно,  откуда  Что и требовалось доказать.
б) Так как  и  то  — параллелограмм. Следовательно,  Следовательно,  равнобедренный с углом  значит, он равносторонний и  Следовательно,  CD = 2.
По теореме Пифагора 

Так как   и  то MLCK — прямоугольник, следовательно, ML = CK и  прямоугольный с  Также 
По теореме Пифагора 

Проведем Следовательно, треугольник OTL прямоугольный и по теореме Пифагора 
Тогда по теореме Пифагора для  получаем

Так как MN — линия пересечения плоскостей (MKC) и  то проведем  Тогда по теореме о трех перпендикулярах  Следовательно,  — угол между (MKC) и  Его тангенс равен  Следовательно, нужно найти A₁H.
Заметим, что так как  равносторонний и  то  следовательно, H лежит на продолжении отрезка MN за точку N.
Рассмотрим  По теореме косинусов

Тогда по теореме синусов из этого же треугольника

Из прямоугольного  имеем

Тогда

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)