Задание №62148 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Чертеж строится безо всяких проблем, но немного обидно, что числовых данных и каких-то хороших условий не написано. Поэтому очень важно будет выжать из перпендикуляров максимум. Стартовый чертеж выглядит так. Понятно, что и можно нарисовать достаточно много равных углов и углов, дающих в сумме 90°. Однако это не помогает.

а) Мы договорились выжимать из перпендикуляров максимум, тогда посмотрим на четырехугольник - сумма противоположных углов, а именно и равна 180°, значит около можно описать окружность, причем - диаметр. Такая же ситуация и с четырехугольником причем - диаметр. Интуитивно понимаем, что наибольший интерес будут представлять общие вершины этих четырехугольников, причем вершины и напрашиваются на пристальное внимание, потому что углы и - кандидаты на то, чтобы стать равными соответствующими углами при и Не будем загромождать рисунок, лучше сделать два.

Выходит, что углы и равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу окружности диаметра а также углы и равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу окружности диаметра Значит, углы и действительно равны и

б) Там, где параллельные отрезки и спрашивают про их отношение, обязаны быть подобные треугольники. А если их нет, то придется их создать самостоятельно. Но для начала неплохо бы исправить рисунок, ведь угол 45° очень легко строится на клетчатой бумаге.

Проведем сразу получим подобные треугольники и Если то

Получается, что наши треугольники подобны с коэффициентом значит 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: а) что и требовалось доказать; б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)