- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 62144
Задание №62144 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной треугольной призме 
сторона 
равна 6, а боковое ребро 
равно 3. На ребре 
отмечена точка 
так, что 
Точки 
и 
– середины ребер и 
соответственно. Плоскость 
параллельна прямой АС и содержит точки 
и 
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости 
б) Найдите объём призмы, вершина которой - точка М, а основание - сечение данной призмы плоскостью
Решение:
Сечение строится довольно легко. Проведем через K прямую, параллельную АС, получим точку Q, проведем такую же по свойству прямую через точку L, получим точку N. Четырехугольник KQLN - сечение треугольной трапеции плоскостью у.
Невидимые линии, проходящие внутри призмы, изображены пунктиром; невидимые линии, проходящие в плоскостях граней призмы, изображены штриховой линией.
а) Теперь рассмотрим прямоугольник 
Идея состоит в том, чтобы найти углы 
и 
Т. к. основания призмы - равносторонние треугольники и 
то 
отсекает от 
также одну шестую часть (что и от 
).
Получается, что
Значит прямая BM действительна перпендикулярна плоскости y.
б) Находим высоту MT пирамиды MKQLN:
Находим высоту FH трапеции KQLN:
Окончательно
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) - 2 балла
Выполнен только один из пунктов а) и б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведенных выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)