Задание №61896 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
а) Заметим, что

Мы взяли первые 99 чисел, чтобы сумма была наименьшей. Но даже в этом случае поэтому число 230 не могло быть записано на доске.

б) Пусть на доске нет числа 14. Снова возьмем числа так, чтобы они обладали наименьшей суммой и посмотрим, что получится.

Получается, что при отсутствии числа 14 на доске, наименьшая возможная сумма чисел всё равно превосходит 5120, значит такого, что на доске не написано число 14, быть не может.

в) Приведем пример, когда среди записанных чисел есть четыре числа, кратные 14: 14, 28, 42 и 56. Подходящий набор таков:

Докажем, что меньше кратных 14 чисел быть не может. В наборе от 1 до 100, обладающем минимальной суммой, ровно 7 чисел, кратных 28, 42, 56, 70, 84, 98. Будем последовательно убирать числа, кратные 14, заменяя их на следующие после 100 натуральные числа (чтобы сохранять минимальность суммы получившихся чисел). Замена 98 на 101 дает сумму 5053, замена 84 на 102 дает сумму 5071, замена 70 на 103 дает сумму 5104, замена 56 на 104 дает сумму Поэтому меньше четырех чисел, кратных 14, не может быть написано на доске.

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) - 4 балла
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 3 балла
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) - 2 балла
Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)