Задание №61581 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

а) 1) Четырехугольник KLMN — квадрат, поэтому  Следовательно,  
2) Прямые LM и AB лежат в плоскости ADB и не имеют общих точек, тогда они параллельны. Таким образом, прямые KN, LM и AB параллельны.
3) Аналогично, прямые KL, MN и CD параллельны. Так как то

б) 1) Расстояние от точки B до плоскости KLM равно высоте тетраэдра BKMN, проведенной из точки B. Основанием данного тетраэдра является прямоугольный треугольник KMN, площадь которого равна Следовательно, 
2) Пусть отрезок AH — высота тетраэдра ABCD, отрезок KH₁ — высота тетраэдра KBNM. Выразим объём тетраэдра KBNM через объём тетраэдра ABCD: 
3) Подставим найденные значения:  

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 3,6

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)