Задание №61501 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:
Область допустимых значений переменной x совпадает с множеством решений неравенства  Решим это неравенство методом интервалов: 
Подбором находим один из корней числителя  и делим многочлен  на двучлен  с помощью схемы Горнера (можно выполнить деление, пользуясь алгоритмом деления «уголком»):

Решая получившееся квадратное уравнение, находим: 
Далее имеем (см. рис.):

Ясно, что первое уравнение системы не имеет положительных корней, так как  при  Значит, ни одно из чисел промежутка не удовлетворяет первому уравнению. Подставляя в него получаем верное равенство  Таким образом,  — единственное значение переменной x, удовлетворяющее первому уравнению системы. Подставив теперь  во второе уравнение системы, получаем: (*)
Если  то уравнение (*) не имеет решений, так как на этом промежутке  а
Функция  убывает на промежутке  и возрастает на промежутке  Следовательно, если то а если  то Таким образом,  на множестве  Так как  при любом значении y, то на множестве  уравнение (*) не имеет решений.
Итак, данная система уравнений не имеет решений, что и требовалось доказать.

Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) найдена область допустимых значений (ОДЗ) переменной x;
2) доказано, что только число  из ОДЗ удовлетворяет первому уравнению
системы;
3) доказано, что при  второе уравнение системы не имеет решений;
Обоснованы все ключевые моменты решения:
а) отсутствие решений первого уравнения на множестве (0; 1];
б) отсутствие решений второго уравнения на множестве 
в) отсутствие решений второго уравнения на множестве 
Все преобразования и вычисления выполнены верно. Сделан правильный вывод - 4 балла
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Обоснованы все ключевые моменты решения. Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения - 3 балла
Верно выполнены шаги 1) и 2), а шаг 3) выполнен неверно, в том числе – неверно обоснован. Допустимы 1 – 2 вычислительные ошибки - 2 балла
Верно выполнен шаг 1) решения, шаг 2) выполнен частично, а остальные шаги
либо отсутствуют, либо выполнены неверно - 1 балл
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 – 4 балла - 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)