- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 61454
Задание №61454 ЕГЭ по Математике (профиль)
Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD. Плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABC, 
тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC 
равен 2. Точка М лежит на ребре BC, 
Точка L лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и С. Объем пирамиды LBDM равен 4. Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите радиус этой сферы.
Решение:
Если центр сферы лежит на плоскости прямоугольника ABCD и сфера будет описанной около пирамиды FABCD, то центр должен находится на одинаковом расстоянии от точек A,B,C,D – это точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD – точка О и расстояние ОF также равно радиусу окружности. Пусть радиус сферы R. 
Тангенс угла между отрезком ВС и плоскостью AFC равен тангенсу угла между отрезком ВС и проекцией этого отрезка на плоскость AFC. Т.к. плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABCD, то проекция ВС будет лежать на отрезке АС. Значит тангенс угла между плоскостью AFC и отрезком BC равен 
На основании теоремы Пифагора 
если 
Найдем в треугольнике RCM стороны RM и RC. 
Из треугольника RCM на основании теоремы косинусов получим:
По условию задачи 
Ответ: 2
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)