Задание №61409 ЕГЭ по Математике (профиль)

Решение:

По условию задачи грань АА₁С₁С представляет собой квадрат. Точки АА₁С1 лежат на сфере, это значит, что и точка С лежит на окружности, которая проходит через точки АА₁С₁. Центр сферы лежит внутри между плоскостью квадрата АА₁С₁С и плоскостью прямоугольника, который образован точками пересечения сферы со сторонами оснований призмы, сфера также проходит через эти точки на ребрах А₁В₁, В₁С₁, ВС, которые делят эти ребра в таком же отношении 1:3. Найдем расстояние между плоскостями окружностей грани А₁С₁СА и квадрата MNPD. Это расстояние равно  Треугольники А₁В₁S и NB₁M подобны  угол AB₁S – общий.    - треугольник А₁В₁С₁ - равнобедренный.
 

равны как радиусы сферы. Треугольники А₁LO и ORN прямоугольные и 
NR – половина диагонали прямоугольника NMPD 
AL половина диагонали квадрата 
Из (1) получим уравнение 

Ответ: радиус сферы 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)