- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 61372
Задание №61372 ЕГЭ по Математике (профиль)
Точка E лежит на высоте SO, а точка F - на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём 
а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если 
Решение:
Построим сечение пирамиды SABCD плоскостью (BEF). Прямая BE лежит в плоскости (BSD), тогда пусть она пересекает ребро SD в точке G. Прямая EF лежит в плоскости (ASC), тогда пусть она пересекает ребро SA в точке H. Мы получили сечение BHGF.
а) Рассмотрим равнобедренный треугольник BSD (
так как пирамида правильная). В нем SO — медиана, причем точка E делит SO в отношении 
значит, точка E — точка пересечения медиан треугольника BSD. Следовательно, прямая BE содержит медиану треугольника BSD, то есть G — середина SD.
б) Найдем в каком отношении точка H делит ребро SA. Для этого рассмотрим треугольник OSC. В нем 
значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, 
Рассмотрим треугольник ASC. В нем 
и 
значит, по теореме о пропорциональных отрезках 
Тогда треугольники ASC и HSF подобны по отношению сторон и углу между ними, значит,
Заметим, что 
значит, прямая HF перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости BSD, в частности, 
Тогда 
Найдем BG. Так как BG — медиана треугольника BSD, 
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BEO:
Тогда
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)