- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 61300
Задание №61300 ЕГЭ по Математике (профиль)
Основание пирамиды 
– ромб 
в котором 
Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость 
параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту 
пирамиды в точке 
так, что 
В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью 
Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен 
Решение:
Учитывая условие, что двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, делаем вывод, что высота пирамиды и ось конуса проходят через точки пересечения диагоналей ромбов, которые будут центром вписанных в ромбы окружностей. У ромба 
радиус вписанной окружности будет радиусом основания цилиндра. Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда 
- коэффициент подобия прямоугольных треугольников 
и 
- высота пирамиды; 
- высота конуса.
Отсюда 
Объем цилиндра 
Найдём объем пирамиды 
(где 
и 
- основание и высота ромба), 
- радиус проведённый в точку касания.
Плоскости основания и сечения пирамиды параллельны, 
Значит, 
Объём пирамиды равен 250.
Ответ: 250
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)