- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 61116
Задание №61116 ЕГЭ по Математике (профиль)
Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке 
В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку 
) и точку сферы, диаметрально противоположную точке 
проходит через точку 
Точка 
является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если 
Решение:
1) Проведем сечение сферы и конуса плоскостью, проходящей через точки 
(см. рисунок). В этой плоскости лежит образующая 
конуса, проходящая через точку 
Сечение сферы - окружность. Значит, - касательная к этой окружности (см. рисунок).
2) 
значит, 
и 
следовательно, 
В треугольнике 
значит, и в треугольнике 
3) Так как 
- касательная, то 
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету 
и гипотенузе, следовательно, 
4) По свойству касательных 
Так как 
- медиана прямоугольного треугольника,
а 
значит, 
5) Пусть 
Тогда 
Угол 
- центральный, а угол 
- вписанный в окружность, значит, 
Найдём высоту конуса:
тогда 
Ответ: 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)