- Банк заданий
- Математика (профиль)
- Задание 59504
Задание №59504 ЕГЭ по Математике (профиль)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона АВ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём 
и 
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC
Решение:
а) Пусть O — центр основания пирамиды тогда 
Следовательно, 
поэтому прямые SB и KM параллельны. Кроме того, MBCN – прямоугольник, поэтому прямые MN и BC также параллельны. Отсюда следует, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Пусть P, Q, R — середины отрезков AD, MN и BC соответственно. Тогда плоскость SPR перпендикулярна прямой BC, а по доказанному в п. а) плоскости MNK и SBC параллельны, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки Q до плоскости SBC. Проведём из точки Q перпендикуляр QH к прямой SR. Тогда 
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б - 2 балла
Выполнен только один из пунктов – а или б - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов
Ответ: б) 
Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)