- Умный справочник
- Математика (профиль)
- Физический и геометрический смысл производной
Физический и геометрический смысл производной
***
С помощью производной решается минимум 2 задания из первой части (ну или тебе совсем повезёт - ещё и 15-е из второй, если попадётся на оптимизацию). Только представь, что незнание темы подвергает тебя потерять 2–4 первичных балла! А это, в свою очередь, 11–22 вторичных! Да-да!
Так что осознай важность данной темы, запасайся конспектами - и погнали покорять вершины!
Определение и общие сведения
Есть множество определений, которые дают в различных учебниках, однако для экзамена достаточно запомнить одно:
Производная показывает как и с какой скоростью изменяется функция.
Обозначается черточкой.
Теперь поговорим о знаках производной:
- Если график функции растет — производная больше 0 (положительное изменение)
- Если график падает — производная меньше 0 (отрицательное изменение)
- Если значения функции не меняются — производная равна 0 (нулевое изменение)
Точки, в которых происходят смены знака производной — точки экстремума.
Сами значения функции в точках экстремума называются просто экстремумами.
Точка экстремума — координата х.
Экстремум — координата y.
Схематично отобразим описанное выше:
Всего существует два смысла производной: физический и геометрический, давай разбираться!
Физический смысл производной
Производная в физическом смысле – скорость изменения.
Пусть S(t) – закон координаты по времени.
Тогда S’(t) – закон изменения координаты по времени, который будет являться скоростью движения, то есть U(t).
А что такое тогда S’’(t)? Если S’(t)=U(t), тогда S’’(t)=U’(t)=скорость изменения скорости.
А скорость изменения скорости — это ускорение, которое обозначается как a(t).
Теперь давай посмотрим, как эта теория применяется в заданиях экзамена. Учти, что для решения заданий на физический смысл производной тебе потребуется вспомнить формулы взятия производных :)
Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 1.5х² − 9𝑥 − 19 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 5 м/с?
1) Дан закон движения. Нас интересует закон изменения скорости, а по физическому смыслу производной – это первая производная x(t):
2) Мы нашли закон изменения скорости, мы знаем скорость, и нас интересует время, когда была достигнута эта скорость.
Получаем:
Таким образом, в момент времени t=7 секунд скорость достигается 5 м/с.
Геометрический смысл производной
Для того, чтобы найти производную в какой-то точке графика функции, вам необходимо построить касательную в эту точку графика функции.
В таком случае справедливы следующие факты:
- В точке касания значения функции и касательной равны
- В точке касания производные функции и касательной равны (у прямых в любых точках производные одинаковые)
Для заданий первой части актуально скорее второе равенство из системы.
Производная линейной функции равна k, но тот в свою очередь равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох (подробнее об этом можно прочесть в статье "Графики функций".)
Если мы будем знать уравнение касательной, то можем сразу приравнивать производную к коэффициенту перед х.
Но если мы его не знаем (а чаще всего именно такие задания и дают), то нам нужно будет найти k через тангенс, построив прямоугольный треугольник.
Если тебе хочется посмотреть больше практики по этой теме (да и в целом по заданию №6 на графическое применение производной), предлагаю изучить вот это видео, где я подробно это все разбираю на конкретных прототипах ЕГЭшных заданий:
***