- Умный справочник
- Математика (профиль)
- Графики функций
Графики функций
***
Умение работать с функциями пригодится во многих заданиях экзамена. В первой части этому посвящен отдельный номер. Также факты, которые мы разберем, пригодятся и при решении параметров.
Будем разбирать основные функции, которые чаще всего встречаются/вызывают больше всего сложностей у школьников.
Начнем с рассмотрения линейной функции.
Линейная функция
Общий вид
X и Y в этом уравнении — координаты точек, которые лежат на прямой.
Рассмотрим линейную функцию y=2x+1.
Точка с координатами (0;1) превращает данное уравнение в верное равенство (1=2*0+1), поэтому прямая проходит через эту точку.
Точка с координатами (5;3) не превращает данное уравнение в верное равенство, а значит, прямая не проходит через данную точку.
Работа с коэффициентами
Коэффициент b отвечает за пересечение с осью Oу.
Если мы вместо x подставим значение 0, то получим, что y=k*0+b, то есть y=b.
Коэффициент k (угловой коэффициент) отвечает за «направление прямой» и за ее скорость роста/падения.
Если k>0, то прямая растет. При этом, чем больше по модулю k, тем быстрее растет прямая (ближе к оси Oy).
Если k<0, то прямая убывает. При этом, чем больше по модулю k, тем быстрее убывает прямая.
Также угловой коэффициент можно найти с помощью тангенса угла наклона.
Разберем все на конкретном примере:
Нарисуем прямую y=2x+1 и отметим угол наклона прямой к оси Ox.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с углом альфа и найдем тангенс этого угла в данном треугольнике.
В случаях, когда вам необходимо будет найти общий вид по точкам, вы можете найти k через тангенс угла наклона, что поможет вам быстрее решить задание.
Немного другие виды прямых
Горизонтальная прямая имеет вид y=a.
Это прямая, у которой k=0, поэтому значения x никак не влияют на значения y.
Вертикальная прямая имеет вид х=а.
Здесь исчезает y. Но как? Мы же не можем получить коэффициент 0 перед y?
На самом деле, можем. Дело в том, что уравнение прямой можно записать вот в таком формате:
Если здесь выразить y через x, то мы получим общий вид, с которым мы работали до этого.
Как раз в этом виде мы и замечаем коэффициент перед y, который может равняться 0.
Также данный вид уравнения прямой используется в координатных методах решений в параметрах, когда нам необходимо будет найти значения параметра, при которых произойдет касание прямой с окружностью.
***
Квадратичная функция
Общий вид
Общий вид квадратичной функции следующий:
Графиком данной функции является парабола.
Есть и немного другие виды записи квадратичной функции, которые могут пригодиться на экзамене, но о них мы поговорим дальше в статье.
Работа с коэффициентами
Коэффициент а отвечает за направление ветвей параболы. Коэффициент с — за пересечение с осью Оу. Коэффициент b — за смещение вправо/влево. Находят его по формуле координаты вершины параболы.
Другие формы записи квадратичной функции
Также можно встретить запись квадратичной функции через координаты вершины параболы:
Этот вид часто может быть более удобным для использования при решении заданий №9 экзамена ЕГЭ, так как там обычно дают именно рисунок, по которому вы будете искать общий вид графика функции.
Еще можно записать квадратичную функцию через точки, в которых функция равна 0:
***
Смещение графиков функций
Для заданий на графики функций (в том числе для параметров) важно понимать, как изменение какого-то коэффициента в общем виде графика функции повлияют на движение этого графика на координатной плоскости.
Я буду приводить примеры для квадратичной функции, но знайте, что они работают и ДЛЯ ЛЮБЫХ ДРУГИХ ФУНКЦИЙ!
За базовую функцию возьмем y=х²:
Вверх/вниз
Если вы ко всей функции прибавите какое-то число, то график пойдет вверх на это же число. Если вы от всей функции отнимите какое-то число, то график пойдет вниз на это число:
Вправо/влево
Если вы к аргументу функции прибавите какое-то число (уменьшите такой икс, при котором внутреннее выражение превратится в 0), то график смещается влево.
Если вы от аргумента функции отнимите какое-то число (увеличите такой икс, при котором внутреннее выражение превратится в 0), то график смещается вправо.
Разумеется, смещений может быть несколько одновременно:
Смещение вправо на 5 и вниз на 5
Расширение/сжатие
Если коэффициент, на который умножается функция, увеличивается, то функция сжимается, приближаясь к оси Оу.
Если уменьшается — функция расширяется, приближаясь к оси Ох.
Разобравшись со смещениями, продолжим рассматривать другие основные функции, которые вы можете встретить на экзамене :)
***
Обратная пропорциональность
Общий вид
Теперь поработаем с функцией вида:
Графиком которой является гипербола, асимптоты который смещены некоторым образом.
График у=k/х выглядит следующим образом:
Асимптоты
Также важной частью гиперболы являются ее асимптоты.
Это такие прямые, на которые похожа функция при значениях, которые стремятся к бесконечности.
У гиперболы асимптотами являются такие значения, которые превращают знаменатель в 0 (вертикальная) и такое значение функции, при котором дробь равнялась бы 0 (горизонтальная).
Да, оба случаи невозможны, так как делить на 0 нельзя, а k подразумевается как число, неравное 0. Поэтому мы и говорим, что мы лишь похожи на такие прямые.
В предыдущем случае асимптотами являются прямые х=0 (вертикальная) и y=0 (горизонтальная):
Коэффициенты
За что отвечают коэффициенты а и b?
Мы не просто так рассмотрели с вами смещения. Данные коэффициенты отвечают за смещения асимптот:
- Если мы прибавим к аргументу (то, что в знаменателе) какое-то число, то смещаем вертикальную асимптоту влево (и наоборот)
- Если мы прибавим ко всей функции (ко всей дроби) какое-то число, то смещаем горизонтальную асимптоту вверх (и наоборот)
Для примера рассмотрим вот такую функцию:
***
Показательная и логарифмическая функции
Эти друзья у нас идут вместе, так как уж очень они взаимосвязаны и похожи :)
Общий вид
Общие виды выглядят следующим образом:
Влияние коэффициентов
В зависимости от того, какой коэффициент вы возьмете (от 0 до 1, или больше 1), каждая функция будет либо убывать, либо возрастать:
Любые добавления к аргументам или к функциям приведут к тем же смещениям, которые мы уже с вами обсуждали выше.
***
Функция корня
С ней сложностей никаких особо не будет, тут нет ничего супер страшного или сложного.
Общий вид
Общий вид следующий:
Ну а все смещения все еще актуальны и для этого типа графиков :)
Если же мы говорим о более сложных заданиях второй части (например, о параметрах), то там еще необходимо знать и уметь работать с уравнением окружности, но об этом мы будем говорить в соответствующих статьях.
***