Графики функций

***

Умение работать с функциями пригодится во многих заданиях экзамена. В первой части этому посвящен отдельный номер. Также факты, которые мы разберем, пригодятся и при решении параметров.

Будем разбирать основные функции, которые чаще всего встречаются/вызывают больше всего сложностей у школьников.

Начнем с рассмотрения линейной функции.

Линейная функция

Общий вид

X и Y в этом уравнении — координаты точек, которые лежат на прямой.

Рассмотрим линейную функцию y=2x+1.

Точка с координатами (0;1) превращает данное уравнение в верное равенство (1=2*0+1), поэтому прямая проходит через эту точку.

Точка с координатами (5;3) не превращает данное уравнение в верное равенство, а значит, прямая не проходит через данную точку.

Работа с коэффициентами

Коэффициент b отвечает за пересечение с осью Oу.

Если мы вместо x подставим значение 0, то получим, что y=k*0+b, то есть y=b.

Коэффициент k (угловой коэффициент) отвечает за «направление прямой» и за ее скорость роста/падения.

Если k>0, то прямая растет. При этом, чем больше по модулю k, тем быстрее растет прямая (ближе к оси Oy).

Если k<0, то прямая убывает. При этом, чем больше по модулю k, тем быстрее убывает прямая.

Также угловой коэффициент можно найти с помощью тангенса угла наклона.

Разберем все на конкретном примере:

Нарисуем прямую y=2x+1 и отметим угол наклона прямой к оси Ox.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с углом альфа и найдем тангенс этого угла в данном треугольнике.

В случаях, когда вам необходимо будет найти общий вид по точкам, вы можете найти k через тангенс угла наклона, что поможет вам быстрее решить задание.

Немного другие виды прямых

Горизонтальная прямая имеет вид y=a.

Это прямая, у которой k=0, поэтому значения x никак не влияют на значения y.

Вертикальная прямая имеет вид х=а.

Здесь исчезает y. Но как? Мы же не можем получить коэффициент 0 перед y?

На самом деле, можем. Дело в том, что уравнение прямой можно записать вот в таком формате:

Если здесь выразить y через x, то мы получим общий вид, с которым мы работали до этого.

Как раз в этом виде мы и замечаем коэффициент перед y, который может равняться 0.

Также данный вид уравнения прямой используется в координатных методах решений в параметрах, когда нам необходимо будет найти значения параметра, при которых произойдет касание прямой с окружностью.

***

Квадратичная функция

Общий вид

Общий вид квадратичной функции следующий:

Графиком данной функции является парабола.

Есть и немного другие виды записи квадратичной функции, которые могут пригодиться на экзамене, но о них мы поговорим дальше в статье.

Работа с коэффициентами

Коэффициент а отвечает за направление ветвей параболы. Коэффициент с — за пересечение с осью Оу. Коэффициент b — за смещение вправо/влево. Находят его по формуле координаты вершины параболы.

Другие формы записи квадратичной функции

Также можно встретить запись квадратичной функции через координаты вершины параболы:

Этот вид часто может быть более удобным для использования при решении заданий №9 экзамена ЕГЭ, так как там обычно дают именно рисунок, по которому вы будете искать общий вид графика функции.

Еще можно записать квадратичную функцию через точки, в которых функция равна 0:

***

Смещение графиков функций

Для заданий на графики функций (в том числе для параметров) важно понимать, как изменение какого-то коэффициента в общем виде графика функции повлияют на движение этого графика на координатной плоскости.

Я буду приводить примеры для квадратичной функции, но знайте, что они работают и ДЛЯ ЛЮБЫХ ДРУГИХ ФУНКЦИЙ!

За базовую функцию возьмем y=х²:

Вверх/вниз

Если вы ко всей функции прибавите какое-то число, то график пойдет вверх на это же число. Если вы от всей функции отнимите какое-то число, то график пойдет вниз на это число:

Вправо/влево

Если вы к аргументу функции прибавите какое-то число (уменьшите такой икс, при котором внутреннее выражение превратится в 0), то график смещается влево.

Если вы от аргумента функции отнимите какое-то число (увеличите такой икс, при котором внутреннее выражение превратится в 0), то график смещается вправо.

Разумеется, смещений может быть несколько одновременно:

Смещение вправо на 5 и вниз на 5

Расширение/сжатие

Если коэффициент, на который умножается функция, увеличивается, то функция сжимается, приближаясь к оси Оу.

Если уменьшается — функция расширяется, приближаясь к оси Ох.

Разобравшись со смещениями, продолжим рассматривать другие основные функции, которые вы можете встретить на экзамене :)

***

Обратная пропорциональность

Общий вид

Теперь поработаем с функцией вида:

Графиком которой является гипербола, асимптоты который смещены некоторым образом.

График у=k/х выглядит следующим образом:

Асимптоты

Также важной частью гиперболы являются ее асимптоты.

Это такие прямые, на которые похожа функция при значениях, которые стремятся к бесконечности.

У гиперболы асимптотами являются такие значения, которые превращают знаменатель в 0 (вертикальная) и такое значение функции, при котором дробь равнялась бы 0 (горизонтальная).

Да, оба случаи невозможны, так как делить на 0 нельзя, а k подразумевается как число, неравное 0. Поэтому мы и говорим, что мы лишь похожи на такие прямые.

В предыдущем случае асимптотами являются прямые х=0 (вертикальная) и y=0 (горизонтальная):

Коэффициенты

За что отвечают коэффициенты а и b?

Мы не просто так рассмотрели с вами смещения. Данные коэффициенты отвечают за смещения асимптот:

• Если мы прибавим к аргументу (то, что в знаменателе) какое-то число, то смещаем вертикальную асимптоту влево (и наоборот)
• Если мы прибавим ко всей функции (ко всей дроби) какое-то число, то смещаем горизонтальную асимптоту вверх (и наоборот)

Для примера рассмотрим вот такую функцию:

***

Показательная и логарифмическая функции

Эти друзья у нас идут вместе, так как уж очень они взаимосвязаны и похожи :)

Общий вид

Общие виды выглядят следующим образом:

Влияние коэффициентов

В зависимости от того, какой коэффициент вы возьмете (от 0 до 1, или больше 1), каждая функция будет либо убывать, либо возрастать:

Любые добавления к аргументам или к функциям приведут к тем же смещениям, которые мы уже с вами обсуждали выше.

***

Функция корня

С ней сложностей никаких особо не будет, тут нет ничего супер страшного или сложного.

Общий вид

Общий вид следующий:

Ну а все смещения все еще актуальны и для этого типа графиков :)

Если же мы говорим о более сложных заданиях второй части (например, о параметрах), то там еще необходимо знать и уметь работать с уравнением окружности, но об этом мы будем говорить в соответствующих статьях.

***