Задание №66441 ЕГЭ по Математике (база)

Решение:
Пусть  -искомое число ( - число тысяч,  - число сотен,  - число десятков,  - число единиц). По условию  Кроме того,  Проанализируем теперь то, что искомое число делится на каждую свою цифру.
Если искомое число содержит цифру 5, то эта цифра должна стоять на четвертом месте. Это просто понять из того, что признак делимости на 5 - это 0 или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет стоять где-нибудь не на последнем месте, то тогда, согласно признаку делимости 5, еще одна 5 будет стоять в конце числа, а это противоречит условию задачи.
Первая цифра - единица. Это очевидно из того, что искомое число меньше 1360.
На втором месте могут стоять цифры 1, 2, 3. Но число 1 уже было, поэтому на втором месте могут стоять цифры 2 и 3.
Если на втором месте цифра 2, то число должно делиться на 2, т. е. четвертом месте обязательно должно стоять четная цифра - 4, 6, 8.
Если число оканчивается на 4, то последние две цифры числа должны делиться на 4: 14 (не может быть), 24 (не может быть), 34 (не может быть), 44 (не может быть), 54 (не может быть), 64 (тогда число должно делиться на 3; признак делимости на 3 - сумма цифр делится на 3, поэтому проверим получившееся число 1264: - не подходит), 74 (не может быть), 84 (число должно будет делиться на 8, то есть три последние цифры числа должны составлять число, которое делится на 8: 284 не делится на 8 без остатка), 94 (не может быть).
Если число оканчивается на 6, то сумма цифр числа должна делиться на 3. У нас есть сумма трех цифр:  Таким образом, на третьем месте может стоять цифра 3, и 9 (обе цифры подходят, поскольку сумма цифр в этом случае будет делиться, как на 3 и 6, так на 3 и 9. Таким образом, мы нашли числа 1236, 1296.
Если число оканчивается на 8, то последние три цифры числа должны делиться на 8. Мы имеем число в общем виде где  - число десятков. 248 делится на 8, а также последние две цифры делятся на 4. Таким образом, число 1248 - одно из искомых чисел.
Если на втором месте цифра 3, то сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма первых двух цифр: Тогда сумма всех 4 цифр может быть максимум 21. Рассмотрим варианты:
1) ( не подходят, так как число должно быть меньше 1360);
2) ( - не подходит, так как если число 5 будет стоять на конце, то искомое число будет больше 1360,  - не подходит,  - не подходит);
3) ( - не подходит,  - не подходит,  - не подходит,  - не подходит);
4) (- не подходит,  - число 1326 делится на каждую из своих цифр,  - не подходит, - не подходит);
5) ( - не подходит, - не подходит);
6) ( - не подходит);
7) ( - невозможно в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.
Таким образом, получаем еще одно найденное число - 1326.

Ответ: 1236 / 1296 / 1248 / 1326

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)